🧐

前言

在Godot（以及Unity、Unreal等）引擎中，所有物体的位置、旋转、缩放都是基于坐标空间来定义的。理解坐标空间及其变换规则，是掌握节点树、摄像机跟随、模型变换等操作的数学基础。

1. 坐标空间的组成

要定义一个坐标空间，必须明确两个要素：

原点位置：空间中的参考点 (0,0,0)。
三个坐标轴的方向：在3D空间中，即 X轴、Y轴、Z轴的正方向。

Godot 提示：在Godot中，2D场景使用X（右）和Y（下/上）轴；3D场景使用X（右）、Y（上）、Z（前）轴。每个 Node2D 或 Node3D 节点都定义了自己相对于父节点的局部坐标空间。

2. 坐标空间之间的关系

在Godot的场景树结构中，坐标空间形成层级关系：

世界空间：最顶层的“绝对”空间，是所有坐标的基准（在Godot中对应根视图或 /root）。
局部/子空间：大多数坐标空间都是世界空间的“子空间”。一个子空间的原点和轴方向，都是基于它的父空间来定义的。
变换的本质：坐标空间的变换，实际上就是在父空间与子空间之间，对点（位置）或向量进行转换。

Godot 实例：
如果将 CharacterBody3D 放在场景中，它的位置是基于世界空间的。
如果将一把剑作为角色的子节点，剑的位置是基于角色空间（角色的原点）的。如果角色移动，剑也会相对移动。

3. 坐标空间之间的变换矩阵

为了在数学上实现空间转换，我们使用矩阵。

3.1 问题定义

假设我们有两个空间：

父空间 F
子空间 S（基于F定义）

已知信息（基于父空间F的数据）：

Os ：子空间S的原点位置。
Xs, Ys, Zs ：子空间S的三个坐标轴的方向向量。

3.2 两种变换需求

子 → 父：将子空间S下的点 As 转换到父空间F中，记为 Af。
父 → 子：将父空间F下的点 Bf 转换到子空间S中，记为 Bs。

3.3 核心公式

如果子空间S中的点坐标为 P(a, b, c)，那么它在父空间F中的坐标 Pf 可以通过以下方式计算：

父空间坐标 = 子空间原点 + a × 子X轴向量 + b × 子Y轴向量 + c × 子Z轴向量

即：Pf = Os + a·Xs + b·Ys + c·Zs

3.4 变换矩阵

3.4.1 子空间 → 父空间变换矩阵

记作 M(s→f)，它是一个 4×4 的矩阵，结构如下：

列1（X轴方向）	列2（Y轴方向）	列3（Z轴方向）	列4（原点位置）
Xs.x	Ys.x	Zs.x	Os.x
Xs.y	Ys.y	Zs.y	Os.y
Xs.z	Ys.z	Zs.z	Os.z
0	0	0	1

解释：

前三列分别是子空间的X、Y、Z轴在父空间中的方向向量。
第四列是子空间的原点在父空间中的位置。

3.4.2 父空间 → 子空间变换矩阵

记作 M(f→s)，它是 M(s→f) 的逆矩阵。
即：M(f→s) = (M(s→f))⁻¹

3.5 关于缩放

如果子空间没有缩放（即轴向量是单位向量），前三列表示纯旋转。
如果子空间有缩放，Xs, Ys, Zs 的长度就不再是1，而是代表了缩放因子。

Godot 实践：
在Godot中，你不需要手动计算这些矩阵。引擎通过 Transform3D（3D）或 Transform2D（2D）结构体封装了这些数学运算。
获取子节点相对父节点的变换：child.global_transform 与 child.transform 的关系。
使用 to_global() 和 to_local() 方法：例如 var world_pos = node.to_global(Vector3(1,0,0)) 可以直接完成空间转换，底层正是应用了上述矩阵原理。

总结

核心概念	内容
坐标空间的组成	原点 + 三个坐标轴的方向
空间关系	层级结构（父-子关系）；世界空间是顶级空间
子→父变换矩阵	由子空间的原点和三个轴向量构成的4×4矩阵
父→子变换矩阵	子→父矩阵的逆矩阵
Godot应用	`Transform3D`， `to_global()` / `to_local()` 方法，节点树层级

新人建议：刚开始学习Godot时，不需要深究矩阵内部数值的推导，但一定要理解“世界坐标”与“局部坐标”的概念，以及为什么子物体会跟随父物体移动。当你需要做高级效果（如自定义着色器、骨骼动画或物理计算）时，这些矩阵知识会让你事半功倍。

Godot开发必备数学：坐标空间与变换矩阵

前言